Question

某奶茶店为了回馈客户和促销，准备推出掷骰子（投掷各面数字为1到6的均匀正方体，看面朝上的点数）赢积分券的活动，游戏规则如下：顾客每次消费后，可同时投掷三枚骰子一次，赢得一等奖、二等奖、三等奖和感谢将四个等级的积分卷，用于在以后来店消费中抵用现金．其中一等奖可获得100个积分，二等奖可获得20个积分，三等奖可获得10个积分，感谢奖可获得5个积分．
设事件A：“三连号”；事件B：“三个同点”；事件C：“恰有两个连号且恰有两个同点”．
已知：①将以上三种掷骰子的结果，按出现概率由低到高，对应定为一、二、三等奖要求的条件；②本着人人有奖原则，其余不符合一、二、三等奖要求的条件均定为感谢奖．
（1）请替该店定出各个等级奖依次对应的事件和概率；
（2）从成本考虑，希望此次活动的总体优惠幅度控制在15%内，如果准备规定100个积分抵用1杯奶茶，请你从数学期望的角度替该奶茶店计算此规定能否达到此成本控制目的（假设积分利用率为100%）．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（1）总基本事件有6³=216（个），事件A有4A

3 3

=24个基本事件，事件B共有6个基本事件，事件C：两个连号共有1-2，2-3，3-4，4-5，5-6五种情况，每种情况有两种同点可能，共有30个基本事件，由此能求出该店定出各个等级奖依次对应的事件和概率．
（2）设所获积分数为随机变量η，则由（1）能求出其分布列和Eη，由此能求出总体优惠幅度为10%，可以达到此成本控制目的．

解答： 解：（1）总基本事件有6³=216（个），
事件A有4A

3 3

=24个基本事件，∴P（A）=

24

216

=

1

9

；
事件B共有6个基本事件，∴P（B）=

6

216

=

1

36

；
事件C：两个连号共有1-2，2-3，3-4，4-5，5-6五种情况，
每种情况有两种同点可能，
∴共有5×2×

A

1 3

=30（个）基本事件，
∴P（C）=

30

216

=

5

36

，
∴事件B：“三个同点”对应一等奖，概率为

1

36

，
事件A：“三连号”对应二等奖，概率为

1

9

，
事件C：“恰有两个连号且恰有两个同点”对应三等奖，概率为

5

36

，
其余事件对应感谢奖，概率为：
1-

1

36

-

1

9

-

5

36

=

13

18

．
（2）设所获积分数为随机变量η，则由（1）知其分布列为：

η	100	20	10	5
p	1 36	1 9	5 36	3 18

Eη=100×

1

36

+20×

1

9

+10×

5

36

+5×

13

18

=10．
∴总体优惠幅度为

10

100

=10%，可以达到此成本控制目的．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期限，是中档题，在历年高考中考都是必考题型．