Question

12．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=log₂（x+1）．
（Ⅰ）求函数f（x）在定义域R上的解析式；
（Ⅱ）解关于x的不等式f（2x-1）＞1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设x＜0，则-x＞0，根据条件以及函数的奇偶性求得f（x）的解析式，可得结论．
（Ⅱ）由题意可得 f（x）在在（-∞，0）上单调递减，且f（-1）=1，由不等式f（2x-1）＞1，可得 2x-1＞1，或2x-1＜-1，由此求得x的范围．

解答 解：（Ⅰ）设x＜0，则-x＞0，∵当x≥0时，f（x）=log₂（x+1），∴f（-x）=log₂（-x+1）．
∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（-x）=log₂（-x+1）=f（x），即f（x）=log₂（-x+1）．
综上可得，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{log}_{2}（x+1），x≥0}\\{{log}_{2}（-x+1），x＜0}\end{array}\right.$．
（Ⅱ）∵f（x）是定义在R上的偶函数，在（0，+∞）上单调递增，且f（1）=1，
∴f（x）在在（-∞，0）上单调递减，且f（-1）=1，
∵关于x的不等式f（2x-1）＞1，∴2x-1＞1，或2x-1＜-1，求得x＞1，或 x＜0，
故原不等式的解集为{x|x＞1，或x＜0}．

点评 本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，以及解不等式，属于基础题．