Question

17．已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，点P，Q分别为棱CC₁，BC的中点，则四面体A₁-B₁PQ的体积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出四面体A₁-B₁PQ的体积．

解答 解：以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
A₁（0，0，2），B₁（$\sqrt{3}$，1，2），
Q（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，0），P（0，2，1），
$\overrightarrow{P{B}_{1}}$=（$\sqrt{3}$，-1，1），
$\overrightarrow{PQ}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，-1），$\overrightarrow{P{A}_{1}}$=（0，-2，1），
设平面PQB₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PQ}=\frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{1}{2}y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{P{B}_{1}}=\sqrt{3}x-y+z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，0），
∴A₁平面PQB₁的距离d=$\frac{|\overrightarrow{P{A}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
|$\overrightarrow{PQ}$|=$\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}+1}$=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{P{B}_{1}}$|=$\sqrt{3+1+1}$=$\sqrt{5}$，
cos＜$\overrightarrow{PQ}，\overrightarrow{P{B}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{P{B}_{1}}}{|\overrightarrow{PQ}|•|\overrightarrow{P{B}_{1}}|}$=$\frac{\frac{3}{2}+\frac{1}{2}-1}{\sqrt{2}•\sqrt{5}}$=$\frac{1}{\sqrt{10}}$，
sin＜$\overrightarrow{PQ}，\overrightarrow{P{B}_{1}}$＞=$\sqrt{1-\frac{1}{10}}$=$\frac{3}{\sqrt{10}}$，
∴${S}_{△PQ{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}×|\overrightarrow{PQ}|×|\overrightarrow{P{B}_{1}}|×sin＜\overrightarrow{PQ}，\overrightarrow{P{B}_{1}}＞$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{5}×\frac{3}{\sqrt{10}}$=$\frac{3}{2}$，
∴四面体A₁-B₁PQ的体积为：
V=$\frac{1}{3}×d×{S}_{△PQ{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查几何体的体积、空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．