Question

12．已知函数f（x）$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}-2a，x＞0}\\{-4ax+a，x≤0}\end{array}\right.$，其中a＞0，且a≠1，若f（x）在R上单调，则a的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{3}$]
• B． [$\frac{1}{3}$，1）
• C． （0，$\frac{1}{2}$]
• D． [$\frac{1}{2}$，1）

Answer 1

分析 根据f（x）在R上单调，可知a＜1，那么-4a＜0，且满足（a^x-2a）_max≤（-4ax+a）_min可得a的取值范围．

解答 解：函数f（x）$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}-2a，x＞0}\\{-4ax+a，x≤0}\end{array}\right.$，其中a＞0，且a≠1，
f（x）在R上单调，观察选项，可知：y=a^x-2a是减函数，则a＜1．
∴y=-4ax+a也是减函数，则-4a＜0，即a＞0．
且满足（a^x-2a）_max≤（-4ax+a）_min，可得：1-2a≤a，
解得：$a≥\frac{1}{3}$．
综上可得：a的取值范围是[$\frac{1}{3}$，1）．
故选B．

点评 本题考查了分段函数的单调性的运用．属于基础题．