Question

2．已知函数y=f（x）满足f（x+1）=x+3a，且f（a）=3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若g（x）=x•f（x）+λf（x）+1在（0，2）上具有单调性，λ＜0，求g（λ）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用配凑法进行求解即可．
（2）求出函数g（x）的表达式，结合一元二次函数单调性的性质进行判断即可．

解答 解：（1）∵f（x+1）=x+3a=x+1+3a-1，
∴f（x）=x+3a-1，
∵f（a）=3，∴f（a）=a+3a-1=4a-1=3，
得4a=4，则a=1，
即函数f（x）的解析式f（x）=x+2；
（2）g（x）=x•f（x）+λf（x）+1=x•（x+2）+λ（x+2）+1
=x²+（2+λ）x+2λ+1，
函数的对称轴为x=-$\frac{2+λ}{2}$，
若函数g（x）在（0，2）上具有单调性，λ＜0，
则-$\frac{2+λ}{2}$≤0或-$\frac{2+λ}{2}$≥2，
即λ≥-2或λ≤-6，
∵λ＜0，
∴λ≤-6或-2≤λ＜0，
则g（λ）的取值范围是λ≤-6或-2≤λ＜0．

点评 本题主要考查函数解析式的求解以及函数单调性的判断和应用，根据一元二次函数的性质是解决本题的关键．