Question

10．设函数f（x）=x³-$\frac{9a}{2}{x^2}$+6x．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对?x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）问题转化为$\frac{9a}{2}＜x+\frac{6}{x}$在区间[1，4]上恒成立，令$g（x）=x+\frac{6}{x}$，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）函数的定义域为R，
当a=1时，f（x）=x³-$\frac{9}{2}$x²+6x，
f′（x）=3（x-1）（x-2），
当x＜1时，f′（x）＞0；
当1＜x＜2时，f′（x）＜0；
当x＞2时，f′（x）＞0，
∴f（x）的单调增区间为（-∞，1），（2，+∞），单调减区间为（1，2）．
（Ⅱ）$f（x）={x^3}-\frac{9a}{2}{x^2}+6x＞0$
即$\frac{9a}{2}＜x+\frac{6}{x}$在区间[1，4]上恒成立，
令$g（x）=x+\frac{6}{x}$，
故当$x∈（1，\sqrt{6}）$时，g（x）单调递减，
当$x∈（\sqrt{6}，+∞）$时，g（x）单调递增，
$g{（x）_{min}}=g（\sqrt{6}）=2\sqrt{6}$时，
∴$\frac{9a}{2}≤2\sqrt{6}$，即$a≤\frac{{4\sqrt{6}}}{9}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．