Question

20．已知曲线C的极坐标方程为ρcos²θ+4cosθ-ρ=0（（ρ≥0），直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$（t为参数，0°≤α＜180°）．
（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；
（2）若直线l与曲线C有且只有一个交点，求α的值．

Answer 1

分析 （1）将极坐标与直角坐标互化公式$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$及ρ²=x²+y²，可得曲线C的直角坐标方程．当α=90°时，直线l的普通方程为x=0，y∈R，当α≠90°时，消去参数t，得直线l的普通方程．
（2）由已知，直线l过定点（0，1），将直线l的参数方程代入到y²=4x，得t²sin²α+2t（sinα-2cosα）+1=0，由已知则△=0，对α分类讨论，即可得出．

解答 解：（1）将极坐标与直角坐标互化公式$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$及ρ²=x²+y²，
代入ρ²cos²θ+4ρcosθ-ρ²=0（，得x²+4x-x²-y²=0，
因而曲线C的直角坐标方程为y²=4x，
当α=90°时，直线l的普通方程为x=0，y∈R，
当α≠90°时，消去参数t，得直线l的普通方程为y=x•tanα+1．
（2）由已知，直线l过定点（0，1），
将直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$代入到y²=4x，
得t²sin²α+2t（sinα-2cosα）+1=0
由已知则△=（sinα-2cosα）²-4sin²α=0，
即4cosα（cosα-sinα）=0，∴cosα=0，cosα=sinα，则α=90°，α=45°，
又当α=0°时直线l化为y=1，x∈R，此时与曲线C也只有一个交点，
从而所求α的值为0°，45°，90°．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程互化、参数方程化为普通方程、三角函数基本关系式、分类讨论，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．