Question

15．设f（x）=ae^x+$\frac{1}{a{e}^{x}}$+b（a＞0）．
（1）求f（x）在[0，+∞）上的最小值；
（2）设曲线y=f（x）在点（2，f（2））的切线方程为3x-2y=0，求a、b的值．

Answer 1

分析 （1）设t=e^x（t≥1），求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的最小值即可；
（2）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可．

解答 解：（1）设t=e^x（t≥1），
则y=at+$\frac{1}{at}$+b⇒y′=a-$\frac{1}{{at}^{2}}$=$\frac{{{a}^{2}t}^{2}-1}{{at}^{2}}$，
①a≥1时，y′＞0⇒y=at+$\frac{1}{at}$+b在t≥1上递增，
得：t=1即x=0时，f（x）的最小值是a+$\frac{1}{a}$+b；
②0＜a＜1时，y=at+$\frac{1}{at}$+b≥2+b，
当且仅当at=1（t=e^x=$\frac{1}{a}$，x=-lna）时，f（x）的最小值是b+2；
（2）f（x）=ae^x+$\frac{1}{a{e}^{x}}$+b⇒f′（x）=ae^x-$\frac{1}{{ae}^{x}}$，
由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{f（2）=3}\\{f′（2）=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$?$\left\{\begin{array}{l}{{ae}^{2}+\frac{1}{{ae}^{2}}+b=3}\\{{ae}^{2}-\frac{1}{{ae}^{2}}=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$?$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{{e}^{2}}}\\{b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了函数的单调性，考查导数的应用以及切线方程问题，是一道中档题．