Question

5．已知函数f（x）=|2x-a|+a（a∈R）．
（1）当a=-1时，解不等式f（x）≤|2x-1|；
（2）若a≥0，f（x）≤2，求证：|x|≤a+1．

Answer 1

分析 （1）解法一：当a=-1时，不等式即|x+$\frac{1}{2}$|-|x-$\frac{1}{2}$|≤$\frac{1}{2}$，再利用绝对值的意义求得不等式f（x）≤|2x-1|的解集．
解法二：把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）由条件|2x-a|+a≤2，利用绝对值三角不等式证得|x|≤1，从而证得结论．

解答 解：（1）解法一：当a=-1时，解不等式f（x）≤|2x-1|，
即|2x+1|-1≤|2x-1|，即|x+$\frac{1}{2}$|-|x-$\frac{1}{2}$|≤$\frac{1}{2}$．
而|x+$\frac{1}{2}$|-|x-$\frac{1}{2}$|表示数轴上的x对应点到-$\frac{1}{2}$对应点的距离
减去它到$\frac{1}{2}$对应点的距离，
而$\frac{1}{4}$对应点到-$\frac{1}{2}$对应点的距离减去它到$\frac{1}{2}$对应点的距离正好等于$\frac{1}{2}$，
故不等式f（x）≤|2x-1|的解集为{x|x≤$\frac{1}{4}$}．
解法二：不等式f（x）≤|2x-1|，即|2x+1|-|2x-1|≤1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜-\frac{1}{2}}\\{-2x-1-（1-2x）≤1}\end{array}\right.$ ①，或 $\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}≤x＜\frac{1}{2}}\\{2x+1-（1-2x）≤1}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{1}{2}}\\{2x+1-（2x-1）≤1}\end{array}\right.$③．
解①求得x＜-$\frac{1}{2}$，解②求得-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{1}{4}$，解求得x∈∅．
综上可得，不等式f（x）≤|2x-1|的解集为{x|x≤$\frac{1}{4}$}．
（2）证明：∵f（x）=|2x-a|+a≤2，而由绝对值三角不等式可得|2x-a|≥|2x|-|a|=|2x|-a，
∴|2x|-a+a≤2，即 2|x|≤2，即|x|≤1．
又∵a≥0，∴|x|≤a+1成立．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值三角不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．