Question

已知函数f（x）=x²+ax+3-a，其中x∈[-2，2]．
（1）当a∈R时，讨论它的单调性；
（2）若f（x）≥12-4a恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先求出函数的对称轴，对对称轴的范围进行讨论，从而得到函数的单调性；
（2）根据函数的单调性，结合二次函数的图象及性质，得到不等式组，解出即可．

解答： 解：（1）f（x）=x²+ax+3-a，对称轴方程为x=-

a

2

，
下面分三种情况讨论：
当-

a

2

≤-2得a≥4，f（x）单调增区间为[-2，2]；
当-

a

2

≥2得a≤-4，f（x）单调减区间为[-2，2]；
当-4≤a≤4时，f（x）单调增区间为[-2，-

a

2

]，单调减区间为(-

a

2

，2]；
（2）方法一：当-

a

2

≤-2得a≥4，f（x）单调增区间为[-2，2]，f（x）_min=f（-2），
当-4≤a≤4时，f（x）单调增区间为[-2，-

a

2

]，单调减区间为（-

a

2

，2]，f(x)min=f(-

a

2

)，
当-

a

2

≥2得a≤-4，f（x）单调减区间为[-2，2]，f（x）_min=f（2），
若x∈[-2，2]时，有f（x）≥12-4a恒成立；
则

- a 2 ≤-2 f(-2)=7-3a≥12-4a

⇒a≥5，或

-2＜- a 2 ＜2 f(- a 2 )=- a2 4 +3-a≥12-4a

⇒无解，或

- a 2 ≥2 f(2)=7+a≥12-4a

⇒无解，
综上可知，a≥5所以，a的取值范围是[5，+∞）；
方法二：若x∈[-2，2]时，有f（x）≥12-4a恒成立；
则，f（-2）≥12-4a⇒a≥5，
而当a≥5时，f（x）在[-2，2]上单调递增；所以，x∈[-2，2]，f（x）_min=f（-2），
若x∈[-2，2]时，有f（x）≥12-4a恒成立，
则

a≥5 f(-2)=7-3a≥12-4a

⇒a≥5，
所以，a的取值范围是[5，+∞）．

点评：本题考查了二次函数的性质，函数的单调性，求参数的范围问题，是一道中档题．