Question

已知函数f（x）=2^x|2^x-a|+b．
（Ⅰ） 当a=1，b=0时，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（Ⅱ） 当a=b=4时，若f（x）=5，求x的值；
（Ⅲ） 若b＜-4，且b为常数，对于任意x∈（0，2]，都有f（log₂x）＜0成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ） 当a=1，b=0时，根据函数奇偶性的定义即可判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ） 当a=b=4时，若f（x）=5，解方程即可求x的值；
（Ⅲ） 根据不等式的解法，即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ） 当a=1，b=0时，f（x）=2^x|2^x-1|．
∵f（1）=2，f（-1）=

1

2

×

1

2

=

1

4

，
∴f（-1）≠-f（1），f（-1）≠f（1），
故函数f（x）为非奇非偶函数；
（Ⅱ） 当a=b=4时，若f（x）=5，
则f（x）=2^x|2^x-4|+4=5．
即2^x|2^x-4|=1．
若2^x-4≥0，即x≥2，则等价为2^x（2^x-4）-1=0．
即（2^x）²-4•2^x-1=0
解得2^x=2+

5

，即x=log2(2+

5

)；
若2^x-4＜0，即x＜2，则等价为-2^x（2^x-4）-1=0．
即（2^x）²-4•2^x+1=0
解得2^x=2-

3

，
即x=log2(2-

3

)，
综上x=log2(2-

3

)或x=log2(2+

5

)；
（Ⅲ） 不等式等价于x+

b

x

＜a＜x-

b

x

，
根据函数的单调性，x+

b

x

的最大值为2+

b

2

，x-

b

x

的最小值为2-

b

2

，
所以 2+

b

2

＜a＜2-

b

2

．

点评：本题主要考查函数奇偶性的定义以及对数方程的解法是解决本题的关键．