题目内容

设函数f（x）=x3+ax2+bx+c，试问当a，b分别满足什么条件时．
（1）函数f（x）没有极值；
（2）函数f（x）有一个极值；
（3）函数f（x）有两个极值．
考点：利用导数研究函数的极值
专题：计算题,导数的综合应用
分析：求出导数f′（x）=3x2+2ax+b，（1）函数f（x）没有极值等价为方程f′（x）=0无实根或有两个相等的实数根，（2）由于导数f′（x）为二次函数，故不存在实数a，b，使函数f（x）有一个极值；
（3）函数f（x）有两个极值等价为方程f′（x）=0有两个不相等的实数根．
解答： 解：函数f（x）=x3+ax2+bx+c的导数f′（x）=3x2+2ax+b，
（1）函数f（x）没有极值等价为方程f′（x）=0无实根或有两个相等的实数根，
则判别式△=4a2-12b≤0，即a2≤3b；
（2）由于导数f′（x）为二次函数，故不存在实数a，b，使函数f（x）有一个极值；
（3）函数f（x）有两个极值等价为方程f′（x）=0有两个不相等的实数根，
则判别式△=4a2-12b＞0，即即a2＞3b．
点评：本题考查函数的极值与导数的关系，函数在某点的导数为0，不一定是极值点，函数在某点有极值，在这点附近函数导数异号，属于基础题．
练习册系列答案
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已知⊙C的圆心C在y=
1
x
上，且⊙C过原点，OC交x轴、y轴于另两点A、B，则三角形OAB的面积为（　　）
A、1B、2C、4D、8
设集合A={-3，-1，0，1，3}，B={x∈N|
3
2-x
∈Z}，则A∩B=（　　）
A、{-1，1}
B、{1，3}
C、{0，1，3}
D、{-1，1，3}
已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1+4a2=1，a32=16a2a6．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=log2an，求数列{
1
bnbn+1
}的前n项和Tn．
已知P：2≤m≤8，Q：函数f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1存在极大值和极小值，求使“P∩￢Q”为真命题的m的取值范围．
已知定义在区间[-π，
2
3
π]上的函数y=f（x）的图象关于直线x=-
π
6
对称，当x∈[-π，
2
3
π]时，函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-
π
2
＜φ＜
π
2
）的图象如图所示．
（1）求函数y=f（x）在[-π，
2
3
π]上的表达式；
（2）求方程f（x）=
2
2
的解．
定义：若数列{An}满足An+1=An2，则称数列{An}为“平方递推数列”．已知数列{an}中，a1=2，点（an，an+1）在函数f（x）=2x2+2x的图象上，其中n∈N*．
（1）证明：数列{2an+1}是“平方递推数列”，且数列{lg（2an+1）}为等比数列；
（2）设（1）中“平方递推数列”的前n项之积为Tn，即Tn=（2a1+1）（2a2+1）…（2an+1），求数列{an}的通项公式及Tn；
（3）记bn=log (2an+1)Tn，数列{bn}的前n项和为Sn，求Sn＞2013的n的最小值．
定义函数fn（x）=（1+x）n-1，（x＞-2，n∈N*），其导函数记为fn′（x）．
（1）求证：fn（x）≥nx；
（2）设
fn′(x0)
fn+1′(x0)
=
fn(1)
fn+1(1)
，求证：0＜x0＜1；
（3）是否存在区间[a，b]⊆（-∞，0]，使函数h（x）=f3（x）-f2（x）在区间[a，b]上的值域为[ka，kb]？若存在，求出最小的k值及相应的区间[a，b]．
设函数f（x）=ax+
x
lnx
（a＜0）．
（Ⅰ）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最大值；
（Ⅱ）若存在x1，x2∈[
e
，e2]，使f（x1）≤f′（x2）-a成立，求实数a的取值范围．

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