Question

定义：若数列{A_n}满足A_n+1=A_n²，则称数列{A_n}为“平方递推数列”．已知数列{a_n}中，a₁=2，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=2x²+2x的图象上，其中n∈N^*．
（1）证明：数列{2a_n+1}是“平方递推数列”，且数列{lg（2a_n+1）}为等比数列；
（2）设（1）中“平方递推数列”的前n项之积为T_n，即T_n=（2a₁+1）（2a₂+1）…（2a_n+1），求数列{a_n}的通项公式及T_n；
（3）记b_n=log (2an+1)T_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，求S_n＞2013的n的最小值．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由条件a_n+1=2a_n²+2a_n，得2a_n+1+1=4a_n²+4a_n+1=（2a_n+1）²，由lg（2a_n+1+1）=2lg（2a_n+1），可得{lg（2a_n+1）}为等比数列．
（2）由（1）可求lga_n，进而可求a_n，利用对数的运算性质可求lgT_n，进而可求T_n
（3）由T_n=（2a₁+1）（2a₂+1）•…•（2a_n+1），两边去对数求出T_n，进而求得b_n，s_n，解不等式即得结论．

解答： 解：（1）由条件a_n+1=2a_n²+2a_n，得2a_n+1+1=4a_n²+4a_n+1=（2a_n+1）²．∴{2a_n+1}是“平方递推数列”，
∴lg（2a_n+1+1）=2lg（2a_n+1）．
∵lg（2a₁+1）=lg5≠0，
∴{lg（2a_n+1）}为等比数列．
（2）∵lg（2a₁+1）=lg5，∴lg（2a_n+1）=2^n-1?lg5，
∴2a_n+1=52n-1，∴a_n=

1

2

（52n-1-1）
∵lgT_n=lg（2a₁+1）+lg（2a₂+1）+…+lg（2a_n+1）=（2ⁿ-1）lg5．
∴T_n=52n-1；
（3）b_n=log (2an+1)T_n=2-

2

2n

，
∴S_n=2n-2+

2

2n

．
∴2n-2+

2

2n

＞2013，
故n的最小值为1008．

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，对数的运算性质的应用，分组求和的应用，属于知识的综合应用．