Question

已知等比数列{a_n}的各项均为正数，且a₁+4a₂=1，a₃²=16a₂a₆．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₂a_n，求数列{

1

bnbn+1

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，通过解方程组可求得a₁与q，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用裂项法可求得数列{

1

bnbn+1

}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，由a₃²=16a₂a₆得a₃²=16a₄²所以q²=

1

16

．
由条件可知q＞0，故q=

1

4

．                 
由a₁+4a₂=1得a₁+4a₁q=1，所以a₁=

1

2

．
故数列{a_n}的通项为a_n=

1

22n-1

；
（Ⅱ）b_n=log₂a_n=-（2n-1），
所以

1

bnbn+1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
所以T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

．

点评：本题主要考查了等比数列的性质及其应用，第二问难度有些大，利用裂项法进行求和，这是数列求和常用的方法，此题是一道中档题．