Question

计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立．
（Ⅰ）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；
（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：

年入流量X	40＜X＜80	80≤X≤120	X＞120
发电机最多可运行台数	1	2	3

若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）先求出年入流量X的概率，根据二项分布，求出未来4年中，至少有1年的年入流量超过120的概率；
（Ⅱ）分三种情况进行讨论，分别求出一台，两台，三台的数学期望，比较即可得到．

解答： 解：（Ⅰ）依题意，p₁=P（40＜X＜80）=

10

50

=0.2，p2=P(80≤X≤120)=

35

50

=0.7，p3=P(X＞120)=

5

50

=0.1，
由二项分布，未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为
p

=C

0 4

(1-p3)4+

C

1 4

(1-p3)3•p3=(

9

10

)4+4×(

9

10

)3×(

1

10

)=0.9477
（Ⅱ）记水电站的总利润为Y（单位，万元）
（1）安装1台发电机的情形，
由于水库年入流总量大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y=5000，E（Y）=5000×1=5000，
（2）安装2台发电机的情形，
依题意，当 40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000-800=4200，
因此P（Y=4200）=P（40＜X＜80）=p₁=

10

50

=0.2，
当X≥80时，两台发电机运行，此时Y=5000×2=10000，因此，P（Y=10000）=P（X≥80）=P₂+P₃=0.8，
由此得Y的分布列如下

Y	4200	10000
P	0.2	0.8

所以E（Y）=4200×0.2+10000×0.8=8840．
（3）安装3台发电机的情形，
依题意，当 40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000-1600=3400，
因此P（Y=3400）=P（40＜X＜80）=p₁=0.2，
当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y=5000×2-800=9200，因此，P（Y=9200）=P（80≤X≤120）=p₂=0.7，
当X＞120时，三台发电机运行，此时Y=5000×3=15000，因此，P（Y=15000）=P（X＞120）=p₃=0.1，
由此得Y的分布列如下

Y	3400	9200	15000
P	0.2	0.7	0.1

所以E（Y）=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620．
综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．

点评：本题主要考查了数学期望和二项分布，再求最大利润时，需要分类讨论，属于中档题．