Question

等差数列{a_n}的前n项和为S_n．已知a₁=10，a₂为整数，且S_n≤S₄．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

1

anan+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由题意得a₄≥0，a₅≤0，即10+3d≥0，10+4d≤0，解得d=-3，即可写出通项公式；
（Ⅱ）利用裂项相消法求数列和即可．

解答： 解：（Ⅰ）由a₁=10，a₂为整数，且S_n≤S₄得s₃≤s₄，s₅≤s₄，即s₄-s₃≥0，s₅-s₄≤0，
∴a₄≥0，a₅≤0，即10+3d≥0，10+4d≤0，解得-

10

3

≤d≤-

5

2

，
∴d=-3，
∴{a_n}的通项公式为a_n=13-3n．
（Ⅱ）∵b_n=

1

(13-3n)(10-3n)

=

1

3

（

1

10-3n

-

1

13-3n

），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

3

（

1

7

-

1

10

+

1

4

-

1

7

+…+

1

10-3n

-

1

13-3n

）=

1

3

（

1

10-3n

-

1

10

）=

n

10(10-3n)

．

点评：本题主要考查数列通项公式及数列和的求法，考查学生对裂项相消求和的能力及运算能力，属中档题．