Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面BB₁C₁C为菱形，B₁C的中点为O，且AO⊥平面BB₁C₁C．
（1）证明：B₁C⊥AB；
（2）若AC⊥AB₁，∠CBB₁=60°，BC=1，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）连接BC₁，则O为B₁C与BC₁的交点，证明B₁C⊥平面ABO，可得B₁C⊥AB；
（2）作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，作OH⊥AD，垂足为H，证明△CBB₁为等边三角形，求出B₁到平面ABC的距离，即可求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高．

解答： （1）证明：连接BC₁，则O为B₁C与BC₁的交点，
∵侧面BB₁C₁C为菱形，
∴BC₁⊥B₁C，
∵AO⊥平面BB₁C₁C，
∴AO⊥B₁C，
∵AO∩BC₁=O，
∴B₁C⊥平面ABO，
∵AB?平面ABO，
∴B₁C⊥AB；
（2）解：作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，作OH⊥AD，垂足为H，
∵BC⊥AO，BC⊥OD，AO∩OD=O，
∴BC⊥平面AOD，
∴OH⊥BC，
∵OH⊥AD，BC∩AD=D，
∴OH⊥平面ABC，
∵∠CBB₁=60°，
∴△CBB₁为等边三角形，
∵BC=1，∴OD=

3

4

，
∵AC⊥AB₁，∴OA=

1

2

B₁C=

1

2

，
由OH•AD=OD•OA，可得AD=

OD2+OA2

=

7

4

，∴OH=

21

14

，
∵O为B₁C的中点，
∴B₁到平面ABC的距离为

21

7

，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高

21

7

．

点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查点到平面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．