Question

在等比数列{a_n}中，公比q≠1，等差数列{b_n}满足b₁=a₁=3，b₄=a₂，b₁₃=a₃．
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记c_n=

1

(3+bn)log3an

，数列{c_n}的前n项和为S_n，证明：Sn＜

3

8

（n∈N^*）．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由题意

3q=3+3d 3q2=3+12d

，由此能求出a_n=3n ，b_n=2n+1．
（Ⅱ）由c_n=

1

(3+bn)log3an

=

1

2n(n+2)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+2

)，由此能证明Sn＜

3

8

．

解答： （Ⅰ）解：∵等比数列{a_n}中，公比q≠1，等差数列{b_n}满足b₁=a₁=3，b₄=a₂，b₁₃=a₃，
∴a2=3q，a3=3q2，b₄=3+3d，b₁₃=3+12d，
依题意有

3q=3+3d 3q2=3+12d

，消d，得q²-4q+3=0，
解得q=3或q=1（舍），∴d=2，
∴a_n=3n ，b_n=2n+1．
（Ⅱ）证明：∵c_n=

1

(3+bn)log3an

=

1

2n(n+2)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+2

)，
∴n≥2时，S_n=

1

4

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)+(

1

n

-

1

n+2

)]
=

1

4

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)＜

3

8

．
又S₁=

1

6

＜

3

8

，
∴Sn＜

3

8

（n∈N^*）．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．