Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=3a_n+1，证明{a n +

1

2

}是等比数列，并求{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：通过数列的递推式，把递推式变形，变为熟悉的等比数列，求出新数列的通项公式后再求原数列的通项．

解答： 证明：由a_n+1=3a_n+1，得：a_n+1+

1

2

=3（a_n+

1

2

），
可得：

an+1+ 1 2

an+ 1 2

=3．
∵a₁+

1

2

=

3

2

≠0，
∴{a n +

1

2

}是以

3

2

为首项，以3为公比的等比数列，
∴a_n+

1

2

=

3

2

•3^n-1=

1

2

•3ⁿ，
∴a_n=

1

2

×3ⁿ-

1

2

．
故答案为：

1

2

（3ⁿ-1）．

点评：本题考查了给出递推式求数列通项公式的方法，对于a_n+1=pa_n+q型的递推式，一般能够造成{a_n+x}型的等比数列，属常见题．