Question

已知函数f（x）=log₂

x+1

x-1

，g（x）=log₂（x-1）
（1）判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性，并用定义证明；
（2）记函数h（x）=g（2^x+2）+kx，问：是否存在实数k使得函数h（x）为偶函数？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）f（x）在区间（1，+∞）上的单调递减．利用单调性的定义，关键是作差变形；
（2）假设存在这样的k使得函数h（x）为偶函数，则h（x）-h（-x）=0恒成立，化简可得结论；

解答： 解：（1）f（x）在区间（1，+∞）上的单调递减．证明如下：
任取1＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=log₂

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

∵

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

-1=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2+1)

，
∵1＜x₁＜x₂，
∴

2(x2-x1)

(x1-1)(x2+1)

＞0，
∴

2(x2-x1)

(x1-1)(x21)

＞1
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x）在区间（1，+∞）上的单调递减；
（2）h（x）=g（2^x+2）+kx=log₂（2^x+1）+kx，定义域为R，
假设存在这样的k使得函数h（x）为偶函数，则h（x）-h（-x）=0恒成立，
即log₂（2^x+1）+kx-log₂（2^-x+1）+kx=0，化简得（1+2k）x=0，
∴k=-

1

2

使得函数h（x）为偶函数．

点评：本题考查函数的单调性和奇偶性的应用，熟练掌握函数单调性和奇偶性的定义是解决本题的关键，考查分类讨论的数学思想．