Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），过点A（-a，0），B（0，b）的直线的倾斜角为

π

6

，原点到该直线的距离为

2

2

，
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在实数k，直线y=kx+2交椭圆于Q，P两点，以PQ为直径的圆过点D（-1，0），若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用两点连线的斜率公式及点到直线的距离公式列出椭圆的三个参数a，b，c的关系，通过解方程求出a，b，c的值，写出椭圆的方程．
（2）将条件以PQ为直径的圆过点D（-1，0）转化为PD⊥QD，设出直线的方程将直线方程与椭圆方程联立，利用向量垂直的充要条件列出等式，求出直线的斜率．

解答： 解：（1）∵过点A（-a，0），B（0，b）的直线的倾斜角为

π

6

，原点到该直线的距离为

2

2

，
∴

b

a

=

3

3

，

1

2

ab=

1

2

•

2

2

•

a2+b2

，
∴a=

3

，b=1，
∴椭圆方程是：

x2

3

+y2=1；
（2）将y=kx+2代入椭圆方程，消去y，可得（3k²+1）x²+12kx+9=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），以PQ为直径的圆过D（-1，0）
则PD⊥QD，即（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0，
又y₁=kx₁+2，y₂=kx₂+2，
得（k²+1）x₁x₂+（2k+1）（x₁+x₂）+5=0，
又x₁+x₂=

-12k

3k2+1

，x₁x₂=

9

3k2+1

，
代上式，得k=

7

6

，
∵此方程中，△=144k²-36（3k²+1）＞0，∴k＞1，或k＜-1．
∴存在k=

7

6

满足题意．

点评：求圆锥曲线的方程一般利用待定系数法；解决直线与圆锥曲线的关系问题，一般将直线的方程与圆锥曲线方程联立得到二次方程，再利用根与系数的关系找突破口．