Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D是棱AB的中点，BC=1，A₁C与平面ABC所成的角为

π

3

．
（Ⅰ）求证：BC₁∥平面A₁DC；
（Ⅱ）求二面角D-A₁C-A的大小．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连接AC₁，与A₁C交于O，利用正棱柱的性质得到O是AC₁的中点，又D是棱AB的中点，得到OD∥BC₁，利用线面平行的判定可证；
（Ⅱ）分别以DA，DC为x，y轴，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，利用平面的法向量夹角与平面角的关系解答．

解答： 解：（Ⅰ）连接AC₁，与A₁C交于O，
因为是正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，所以侧面是平行四边形，
所以O是AC₁的中点，又D是棱AB的中点，
所以OD∥BC₁，
因为OD?平面A₁DC，BC₁?平面A₁DC，
所以BC₁∥平面A₁DC；
（Ⅱ）分别以AC，AA₁为y，z轴，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，
因为正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中点D是棱AB的中点，BC=1，A₁C与平面ABC所成的角为

π

3

．
所以AA₁⊥底面ABC，
所以∠A₁AC为A₁C与平面ABC所成的角为

π

3

．
所以A₁C=2，AA₁=

3

．
则A（0，0，0），D（

3

4

，

1

4

，0），C（0，1，0），A₁（0，0，

3

），
所以

CA1

=（0，-1，

3

），

AC

=（0，1，0），

DC

=（-

3

4

，

3

4

，0），
所以平面ACA₁的法向量为

n

=（1，0，0），平面CDA₁的法向量为

m

=（x，y，z），则

m • CA1 =0 m • DC =0

，即

-y+ 3 z=0 - 3 4 x+ 3 4 y=0

，令z=1，得到一个法向量

m

=（3，

3

，1），
所以cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n || m |

=

3

13

=

3 13

13

；
所以二面角D-A₁C-A的大小为arccos

3 13

13

．

点评：本题考查了线面平行的判定定理的运用以及二面角的求法；关键是利用向量法借助于向量的数量积，前提是适当建立坐标系，正确找出所需向量的坐标．