题目内容
已知函数f（x）=x+alnx
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=3处取极值，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=3处取极值，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．
考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性
专题：计算题,导数的综合应用
分析：（Ⅰ）由题目中条件：“函数f（x）=alnx+x在x=3处取到极值”，利用导数，得导函数的零点是3，从而得以解决．
（Ⅱ）由已知得x＞0，且f′（x）=
，对a讨论，由此利用导数性质能求出f（x）的单调区间．
（Ⅱ）由已知得x＞0，且f′（x）=
| x+a |
| x |
解答：
解：（Ⅰ）∵f′（x）=1+
，
∴f′（3）=0⇒
+1=0，∴a=-1；
（Ⅱ）∵f（x）=x+alnx，且f′（x）=
，
∴当a≥0时，在x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）的单调增区间是（0，+∞），没有减区间；
当a＜0时，函数f（x）与f′（x）在定义域上的情况如下：
则函数的增区间是（-a，+∞），减区间是（0，-a）．
| a |
| x |
∴f′（3）=0⇒
| a |
| 3 |
（Ⅱ）∵f（x）=x+alnx，且f′（x）=
| x+a |
| x |
∴当a≥0时，在x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）的单调增区间是（0，+∞），没有减区间；
当a＜0时，函数f（x）与f′（x）在定义域上的情况如下：
| x | （0，-a） | -a | （-a，+∞） |
| f′（x） | - | 0 | + |
| f（x） | ↘ | 极小值 | ↗ |
点评：本题考查函数的对数的运用：求单调区间和求极值，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案
相关题目
椭圆x2+8y2=1的焦点坐标是（ ）
| A、（±1，0） | ||||
B、（0，±
| ||||
C、（±
| ||||
D、（0，±
|
如图是一个正三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A1B1=1，AA1=4，BB1=2，CC1=3．已知函数f（x）的定义域为R，且对任意的a，b∈R，恒有f（a+b）=f（a）•f（b）；则对f（x）有（ ）
| A、f（x）＞0 |
| B、f（x）＜0 |
| C、f（x）≥0 |
| D、f（x）≤0 |
如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是棱AB的中点，BC=1，A1C与平面ABC所成的角为数列{an}中，a1=p，an+1=qan+d（n∈N*，p，q，d是常数），则d=0是数列{an}成等比数列的（ ）
| A、必要不充分条件 |
| B、充分不必要条件 |
| C、充要条件 |
| D、不充分也不必要条件 |