Question

设函数f（x）=（3-a）lnx+

1

x

+3ax，a∈R．
（Ⅰ）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）在[1，3]上是单调递增函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意x₁，x₂∈[1，3]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜

16

3

+2ln3恒成立，求正实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出f（1）的值，即求出切点的坐标，求出f（x）在x=1处的导函数的值，即为切线的斜率，再根据直线的点斜式写出切线方程．
（Ⅱ）由f（x）在[1，3]上是单调递增函数，有f′（x）≥0，在[1，3]上恒成立，得出不等式，求出a的取值范围，
（Ⅲ）若对任意x₁，x₂∈[1，3]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜

16

3

+2ln3恒成立，即f(x)max-f(x)min＜

16

3

+2ln3，求出a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）当a=0时，f(x)=3lnx+

1

x

，则f′(x)=

3

x

-

1

x2

，
∴f'（1）=2，y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x-1．
（Ⅱ）由题知当x∈[1，3]时，恒有f′(x)=

3-a

x

-

1

x2

+3a≥0，
即3ax²+（3-a）x-1≥0，（3x-1）（ax+1）≥0，
∵x∈[1，3]，∴ax+1≥0，
∴

a+1≥0 3a+1≥0

，∴a≥-

1

3

．
（Ⅲ）∵a＞0，由（Ⅱ）知f（x）在[1，3]上是增函数，
∴f(x)max=f(3)=(3-a)ln3+

1

3

+9a，f（x）_min=f（1）=1+3a．
∴|f(x1)-f(x2)|≤|f(3)-f(1)|=(3-a)ln3-

2

3

+6a，
由题知(3-a)ln3-

2

3

+6a＜

16

3

+2ln3
解得a＜1，
∴0＜a＜1．

点评：本题利用求切线方程，求单调区间，求最值，运用等价转化思想，函数与方程思．是一道导数综合题．属于中档题．