Question

15．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在R上的单调性，并探究是否存在实数t，使不等式f（x）+f（x²-t²）≥0对一切x∈[1，2]恒成立？若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义即可判断f（x）的奇偶性；
（2）f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{e}^{x}+1}$，在R上单调递增．结合函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化，利用参数分离法进行求解即可．

解答 解：（1））函数的定义域为（-∞，+∞），
f（-x）=$\frac{{e}^{-x}-1}{{e}^{-x}+1}$=-$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$=-f（x），
∴f（x）是奇函数；
（2）f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{e}^{x}+1}$，在R上单调递增．
若存在实数t，使不等式f（x）+f（x²-t²）≥0对一切x∈[1，2]恒成立，
则f（x²-t²）≥-f（x）=f（-x）．
即x²-t²≥-x．
即x²+x≥t²恒成立，
设y=x²+x=（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
∵x∈[1，2]，
∴y∈[2，6]，
即t²≤2，
解得-$\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$，
即存在实数t，当-$\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$时使不等式f（x）+f（x²-t²）≥0对一切x∈[1，2]恒成立

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，以及不等式恒成立问题，利用参数分离法是解决本题的关键．