Question

（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程

在极坐标系内，已知曲线的方程为，以极点为原点，极轴方向为正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.

（1）求曲线的直角坐标方程以及曲线的普通方程；

（2）设点为曲线上的动点，过点作曲线的切线，求这条切线长的最小值.

 

Answer 1

（1）曲线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由题意可利用直角坐标与极坐标的互化公式代入曲线的极坐标方程，可将其转化为直角坐标方程；经过消参可以将曲线的参数方程转化为普通方程.由曲线的极坐标方程，将代入得，整理得；由曲线的参数方程（为参数），消掉参数可得曲线的普通方程为.

（2）由题意可知，过圆心作曲线的垂线，且相交于点，则交点为所求的点，再利用勾股定理可求出切线长的最小值.由（1）知曲线的圆心坐标为，半径为1，利用点到直线的距离公式可求得圆心到曲线的距离为，所以所切线长为.

试题解析：（1）对于曲线的方程为，

可化为直角坐标方程，即；

对于曲线的参数方程为（为参数），

可化为普通方程. 5分

（2）过圆心点作直线的垂线，此时切线长最小，

则由点到直线的距离公式可知，，

则切线长. 10分

考点：1.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；2.点到直线的距离公式.