Question

15．已知函数f（x）=sin（ωx-φ），$（ω＞0，0＜φ＜\frac{π}{2}）$的图象经过点$（{\frac{π}{4}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，且相邻两条对称轴的距离为$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其在[0，π]上的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，若$f（{\frac{A}{2}}）+cosA=\frac{1}{2}$，求∠A的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据相邻两条对称轴的距离为$\frac{π}{2}$，可得周期，从而求出ω，图象过点$（{\frac{π}{4}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，带入求出φ，即可求函数f（x）的解析式及其在[0，π]上的单调递增区间．
（Ⅱ）根据$f（{\frac{A}{2}}）+cosA=\frac{1}{2}$，利用三角函数公式化简可得∠A的大小．

解答 解：（Ⅰ）由相邻两条对称轴的距离为$\frac{π}{2}$，可得其周期为$T=\frac{2π}{ω}=π$，∴ω=2．
则f（x）=sin（2x-φ）
∵图象过点$（{\frac{π}{4}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，且$ω＞0，0＜φ＜\frac{π}{2}$，坐标带入：
得：$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（2×$\frac{π}{4}$-φ），即cosφ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴φ=$\frac{π}{6}$
那么：函数f（x）的解析式为：f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）
由$2kπ-\frac{π}{2}＜2x-\frac{π}{6}＜2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z．
可得：$kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}$
∴x在[0，π]上增区间为$（{0，\frac{π}{3}}）$和$（{\frac{5π}{6}，π}）$．
（Ⅱ）由$f（{\frac{A}{2}}）+cosA=\frac{1}{2}$，可得$sin（{A-\frac{π}{6}}）+cosA=\frac{1}{2}$，
则$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinA+\frac{1}{2}cosA=\frac{1}{2}$，
得$sin（{A+\frac{π}{6}}）=\frac{1}{2}$
由于0＜A＜π，
则$\frac{π}{6}＜A+\frac{π}{6}＜\frac{7π}{6}$，
那么：$A+\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}$
∴$A=\frac{2π}{3}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，确定函数的解析式是解决本题的关键．属于基础题．