Question

4．已知向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，则|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|+|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的最小值是4，最大值是$2\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 通过记∠AOB=α（0≤α≤π），利用余弦定理可可知|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{5+4cosα}$、|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{5-4cosα}$，进而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论．

解答 解：记∠AOB=α，则0≤α≤π，如图，
由余弦定理可得：
|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{5+4cosα}$，
|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{5-4cosα}$，
令x=$\sqrt{5-4cosα}$，y=$\sqrt{5+4cosα}$，
则x²+y²=10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图，
令z=x+y，则y=-x+z，
则直线y=-x+z过M、N时z最小为z_min=1+3=3+1=4，
当直线y=-x+z与圆弧MN相切时z最大，
由平面几何知识易知z_max即为原点到切线的距离的$\sqrt{2}$倍，
也就是圆弧MN所在圆的半径的$\sqrt{2}$倍，
所以z_max=$\sqrt{2}$×$\sqrt{10}$=$2\sqrt{5}$．
综上所述，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|+|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的最小值是4，最大值是$2\sqrt{5}$．
故答案为：4、$2\sqrt{5}$．

点评 本题考查函数的最值及其几何意义，考查数形结合能力，考查运算求解能力，涉及余弦定理、线性规划等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．