Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₅=3a₅=15则数列{

1

anan+1

}的前2014项和为

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：依题意可求得等差数列{a_n}的通项公式a_n=n，利用裂项法得

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，从而可得数列{

1

anan+1

}的前2014项和．

解答： 解：∵数列{a_n}为等差数列，3a₅=15，
∴a₅=5；又S₅=

5×(a1+a5)

2

=

5×2a3

2

=15，
∴a₃=3；
∴公差d=

5-3

5-3

=1，
∴a_n=a₃+（n-3）×d=3+（n-3）=n；
∴

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S₂₀₁₄=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

2014

-

1

2015

）=1-

1

2015

=

2014

2015

．
故答案为：

2014

2015

．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列的通项公式与裂项法求和的综合应用，属于中档题．