Question

已知sinα+cosα=

1

5

，且α∈（

π

2

，π）
（Ⅰ）求tanα的值
（Ⅱ）求2sin²（

α

2

+

π

6

）-sin（α+

π

6

）的值．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）把已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系变形求出2sinαcosα的值，再利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系求出sinα-cosα的值，与已知等式联立求出sinα与cosα的值，即可求出tanα的值；
（Ⅱ）原式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦、余弦函数公式化简，将cosα的值代入计算即可求出值．

解答： 解：（Ⅰ）将sinα+cosα=

1

5

①两边平方得：1+2sinαcosα=

1

25

，即2sinαcosα=-

12

25

，
∴（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=

49

25

，
∵α∈（

π

2

，π），∴sinα＞0，cosα＜0，即sinα-cosα＞0，
∴sinα-cosα=

7

5

②，
联立①②解得：sinα=

4

5

，cosα=-

3

5

，
则tanα=-

4

3

；
（Ⅱ）∵cosα=-

3

5

，
∴原式=1-cos2（

α

2

+

π

6

）-sin（α+

π

6

）=1-cos（α+

π

3

）-sin（α+

π

6

）=1-

1

2

cosα+

3

2

sinα-

3

2

sinα-

1

2

cosα=1-cosα=

8

5

．

点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．