Question

已知f（x）=3x²-e^x，函数f（x）的零点从小到大依次为x_i，i=1，2，…
（Ⅰ）若x_i∈[m，m+1）（m∈Z），试写出所有的m值；
（Ⅱ）若g（x）=

1

3

e

x

2

，a₁=g（0），a_n+1=g（a_n），求证：a₁＜a₂＜…＜a_n＜x₂；
（Ⅲ）若h（x）=-

1

3

e

x

2

，b₁=h（0），b_n+1=h（b_n），试把数列{b_n}的前2n项及x₁按从小到大的顺序排列．（只要求写出结果）．

Answer 1

考点：数学归纳法,函数零点的判定定理

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）计算f（-1），f（0），f（1），f（3），f（4），结合x_i∈[m，m+1）（m∈Z），写出所有的m值；
（Ⅱ）确定0＜g（0）＜g（x₂）=x₂＜g（1）＜1，用数学归纳法证明：a₁＜a₂＜…＜a_n＜x₂；
（（Ⅲ）h(x)=-

1

3

e

x

2

，h（x）在R上单调递减，即可证明结论．

解答： 解：（Ⅰ）f(-1)=3-

1

e

＞0，f（0）=-1＜0，f（1）=3-e＞0，f（3）=3³-e³＞0，f（4）=48-e⁴＜0
所以m=-1，0，3…（3分）
（Ⅱ）g(x)=

1

3

e

x

2

，g（x）在R上单调递增，当0＜x＜1时，0＜g(x)＜g(1)=

e 1 2

3

＜1，…（1分）
由（Ⅰ）知，0＜x₂＜1，f（x₂）=3x₂²-ex2=0，
即g(x2)=

1

3

e

x2

2

=x2…（2分）
所以0＜g（0）＜g（x₂）=x₂＜g（1）＜1①
下面用数学归纳法证明0＜a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_n＜x₂
由式①知，0＜a₁＜x₂，所以0＜g（0）＜g（a₁）＜g（x₂），
即0＜a₁＜a₂＜x₂，所以，当n=1，2时，命题成立
假设n=k（k≥2）时命题成立，即0＜a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_k＜x₂②
当n=k+1时，由式②得0＜g（0）＜g（a₁）＜g（a₂）＜g（a₃）＜…＜g（a_k）＜g（x₂）
即0＜a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_k＜a_k+1＜x₂
当n=k+1时，命题也成立，
所以a₁＜a₂＜…＜a_n＜x₂…（7分）
（Ⅲ）h(x)=-

1

3

e

x

2

，h（x）在R上单调递减，由于-1＜x₁＜0，所以-1＜h(0)=-

1

3

＜h(x1)=x1＜0，即-1＜b₁＜x₁＜0，可推出-1＜h（0）＜h（x₁）＜h（b₁）＜0，即-1＜b₁＜x₁＜b₂＜0
进而可得-1＜h（0）＜h（b₂）＜h（x₁）＜h（b₁）＜0，
即-1＜b₁＜b₃＜x₁＜b₂＜0，又可得-1＜h（0）＜h（b₂）＜h（x₁）＜h（b₃）＜h（b₁）＜0
即-1＜b₁＜b₃＜x₁＜b₄＜b₂＜0，所以可得b₁＜b₃＜…＜b_2n-1＜x₁＜b_2n＜…＜b₄＜b₂…（3分）

点评：本题考查函数的零点，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．