Question

1．已知函数f（x）=a-$\frac{1}{|x|}$，a∈R．
（1）若函数f（x）的定义域和值域均为[$\frac{1}{2}$，2]，求实数a的值．
（2）设m＜n＜0，试问是否存在实数a，使函数f（x）的定义域与值域均为[m，n]？若存在，请求出a的取值范围，并指出m，n所满足的条件；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据x的范围判断函数的单调性，根据函数定义域和值域的关系进行求解即可．
（2）判断函数的单调性，根据函数定义域和值域关系建立方程进行求解即可．

解答 解：（1）当x＞0时，f（x）=a-$\frac{1}{x}$为增函数，
若函数f（x）的定义域和值域均为[$\frac{1}{2}$，2]，
则f（2）=a-$\frac{1}{2}$=2，即a=$\frac{5}{2}$．
（2）当x＜0时，f（x）=a+$\frac{1}{x}$为减函数，
若存在实数a，使函数f（x）的定义域与值域均为[m，n]，
则$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=a+\frac{1}{m}=n}\\{f（n）=a+\frac{1}{n}=m}\end{array}\right.$，
两式相减得$\frac{1}{m}$-$\frac{1}{n}$=$\frac{n-m}{nm}$=n-m，
∵m＜n＜0，∴nm=1，
即此时n，m互为倒数关系，
此时a=n-$\frac{1}{m}$=n-$\frac{nm}{m}$=n-n=0，
故存在实数a=0，使函数f（x）的定义域与值域均为[m，n]，
此时m＜n＜0，nm=1

点评 本题主要考查函数定义域和值域的考查，根据条件判断函数的单调性，建立方程组关系是解决本题的关键．