Question

9．已知函数f（x）=Asin（ωx）+b（A＞0，ω＞0）的最大值为2，最小值为0，其图象相邻两对称轴间的距离为2，则f（1）+f（2）+…+f（2008）=2008．

Answer 1

分析 根据题意，求出A、ω和b的值，再根据函数的周期性计算f（1）+f（2）+…+f（2008）的值．

解答 解：函数f（x）=Asin（ωx）+b（A＞0，ω＞0）的最大值为2，最小值为0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{A+b=2}\\{-A+b=0}\end{array}\right.$，
A=1，b=1，
又函数图象相邻两对称轴间的距离为2，∴$\frac{T}{2}$=$\frac{2π}{2ω}$=2，
∴ω=$\frac{π}{2}$；
∴f（1）=（sin$\frac{π}{2}$+1）=2，
f（2）=（sinπ+1）=1，
f（3）=（sin$\frac{3π}{2}$+1）=0，
f（4）=（sin2π+1）=1；
f（5）=（sin$\frac{5π}{2}$+1）=2，…；
∴f（x）是以4为周期的函数，
f（1）+f（2）+…+f（2008）=2+1+0+1+…+1=2008．
故答案为：2008．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，解题时应明确函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质，是基础题目．