Question

13．已知函数f（x）=$\frac{cos2x}{sin（x+\frac{π}{4}）}$
（I）如果f（α）=$\frac{4}{3}$，试求sin2α的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据二倍角公式和两角和的正弦公式，将f（x）化简为f（x）=2cos（x+$\frac{π}{4}$），将f（α）=$\frac{4}{3}$，化简可求得cos（（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{2}{3}$，根据诱导公式和二倍角公式，即可求得sin2α的值；
（Ⅱ）根据余弦函数图象，即可求得f（x）的单调区间．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{cos2x}{sin（x+\frac{π}{4}）}$=$\frac{co{s}^{2}x-si{n}^{2}x}{\frac{\sqrt{2}}{2}（sinx+cosx）}$=$\frac{\sqrt{2}（cosx+sinx）（cosx-sinx）}{sinx+cosx}$，
=$\sqrt{2}$（cosx-sinx），
=2cos（x+$\frac{π}{4}$），
f（α）=$\frac{4}{3}$，即：2cos（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{4}{3}$，
即cos（（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{2}{3}$，
sin2α=-cos（2α+$\frac{π}{2}$），
=-cos2（α+$\frac{π}{4}$），
=-2cos²（（α+$\frac{π}{4}$）+1，
=-2×$\frac{4}{9}$+1，
=$\frac{1}{9}$，
∴sin2α=$\frac{1}{9}$；
（Ⅱ）f（x）=2cos（x+$\frac{π}{4}$），
∴当2kπ-π≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ，k∈Z，f（x）单调递增，
∴x∈[2kπ-$\frac{5π}{4}$，2kπ-$\frac{π}{4}$]，k∈Z，f（x）单调递增；
同理x∈[2kπ-$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{3π}{4}$，]，k∈Z，f（x）单调递减；
故f（x）的单调递增区间为：[2kπ-$\frac{5π}{4}$，2kπ-$\frac{π}{4}$]，
单调递减区间为：[2kπ-$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{3π}{4}$]．

点评 本题重点考查了三角公式、两角和与差的三角公式、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．