Question

已知函数f（x）=

3

2

sinxcosx+

1+cos2x

4

．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=

1

2

，b+c=3．求a的最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,正弦定理

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，进而利用三角函数的图象与性质确定函数的最小正周期和递增区间．
（2）根据已知f（A）的值和（1）中函数的解析式求得A，利用余弦定理确定关于b和c的表达式，利用基本不等式的性质求得a的最小值．

解答： 解：（1）f（x）=

3

2

sinxcosx+

1+cos2x

4

=

3

4

sin2x+

cos2x

4

+

1

4

=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

1

4

，
∴函数的最小正周期T=

2π

2

=π，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
故函数的单调增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．
（2）f（A）=

1

2

sin（2A+

π

6

）+

1

4

=

1

2

，求得A=

π

3

，
a=

b2+c2-2bccosA

=

b2+c2-bc

=

9-3bc

，
∵bc≤

(b+c)2

4

=

9

4

，当且仅当b=c时，取等号．
∴a≥

9- 3×9 4

=

3

2

．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质，余弦定理的应用．考查了学生综合知识的运用．