Question

设正项等差数列{a_n}，a₂，a₅，a₁₄恰好是等比数列{b_n}的前三项，a₂=3．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）记数列{b_n}的前n项和为T_n，若对任意的n∈N^*，k（T_n+

3

2

）≥3n-6恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）由（1）可得T_n=

3×(3n-1)

3-1

=

3n+1-3

2

，由于对任意的n∈N^*，k（T_n+

3

2

）≥3n-6恒成立，可得k≥

2n-4

3n

．令c_n=

2n-4

3n

，通过c_n-c_n-1=

2n-4

3n

-

2n-6

3n-1

=

-2(2n-7)

3n

，即可得出其最大值，

解答： 解：（1）设正项等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₂，a₅，a₁₄恰好是等比数列{b_n}的前三项，a₂=3．
∴

a

2 5

=a2a14，（3+3d）²=3（3+12d），又d＞0，解得d=2．
∴a_n=a₂+（n-2）d=3+2（n-2）=2n-1．
∴a₅=9，

a5

a2

=

9

3

=3．
∴b_n=3ⁿ．
（2）T_n=

3×(3n-1)

3-1

=

3n+1-3

2

，
∵对任意的n∈N^*，k（T_n+

3

2

）≥3n-6恒成立，
∴k(

3n+1

2

-

3

2

+

3

2

)≥3n-6，化为k≥

2n-4

3n

．
令c_n=

2n-4

3n

，则c_n-c_n-1=

2n-4

3n

-

2n-6

3n-1

=

-2(2n-7)

3n

，
当n≤3时，c_n＞c_n-1；当n≥4时，c_n＜c_n-1．
∴（c_n）_max=c3=

2

27

．
∴k≥

2

27

．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．