Question

若点P（a，b）在函数y=-x²+3lnx的图象上，点Q（c，d）在函数y=x+2上，则（a-c）²+（b-d）²的最小值为

 

．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程,两点间距离公式的应用

专题：转化思想,导数的综合应用

分析：先求出与直线y=x+2平行且与曲线y=-x²+3lnx相切的直线y=x+m．再求出此两条平行线之间的距离（的平方）即可得出．

解答： 解：设直线y=x+m与曲线y=-x²+3lnx相切于P（x₀，y₀），
由函数y=-x²+3lnx，∴y′=-2x+

3

x

，
令-2x₀+

3

x0

=1，又x₀＞0，解得x₀=1．
∴y₀=-1+3ln1=-1，
可得切点P（1，-1）．
代入-1=1+m，解得m=-2．
可得与直线y=x+2平行且与曲线y=-x²+3lnx相切的直线y=x-2．
而两条平行线y=x+2与y=x-2的距离d=

|-2-2|

2

=2

2

．
∴（a-c）²+（b-d）²的最小值=（2

2

）²=8．
故答案为：8．

点评：本题考查了导数的几何意义、切线的方程、两条平行线之间的距离、最小值的转化问题等基础知识与基本技能方法，属于中档题．