Question

4．若函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{a（x-1）+1，x＜-1}\\{{a^{-x}}，x≥-1}\end{array}，（a＞0}\right.$，且（a≠1）是R上的单调函数，则实数a的取值范围（　　）

• A． （0，$\frac{1}{3}$）
• B． （$\frac{1}{3}$，1）
• C． （0，$\frac{1}{3}$]
• D． [$\frac{1}{3}$，1）

Answer 1

分析 由于a＞0，且f（x）是单调函数，则f（x）是R上的单调增函数，由一次函数和指数函数的单调性，可得a的范围，再由a（-1-1）+1≤a，解不等式即可得到a的范围．

解答 解：由于a＞0，且f（x）是单调函数，
则f（x）是R上的单调增函数，
由x≥-1时f（x）单调增，
得到0＜a＜1，
且x=-1时，a（-1-1）+1≤a，
解得a≥$\frac{1}{3}$，
故a的取值范围为[$\frac{1}{3}$，1）．
故选：D．

点评 本题考查分段函数的单调性的判断，注意运用一次函数和指数函数的单调性，以及分界点的情况，考查运算能力，属于中档题．