题目内容
（2013•青岛一模）已知函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间[0，| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| sinB+sinC |
| sinA |
| ||
| cosA |
（Ⅰ）证明：b+c=2a；
（Ⅱ）若b=c，设∠AOB=θ，（0＜θ＜π），OA=2OB=2，求四边形OACB面积的最大值．
分析：（Ⅰ）由题意知
=
，解之可得ω，代入已知条件化简可得sinC+sinB=2sinA，再由正弦定理可得b+c=2a；
（Ⅱ）由条件和（Ⅰ）的结论可得△ABC为等边三角形，可得SOACB=S△OAB+S△ABC=
OA•OBsinθ+
AB2，可化简为2sin(θ-
)+
，由θ的范围可得结论．
| 2π |
| ω |
| 4π |
| 3 |
（Ⅱ）由条件和（Ⅰ）的结论可得△ABC为等边三角形，可得SOACB=S△OAB+S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 4 |
| π |
| 3 |
5
| ||
| 4 |
解答：解：（Ⅰ）由题意知：
=
，解得ω=
…（2分）
∵
=
，
∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA-cosBsinA-cosCsinA，
∴sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA=2sinA，
∴sin（A+B）+sin（A+C）=2sinA…（4分）
∴sinC+sinB=2sinA，
∴b+c=2a…（6分）
（Ⅱ）因为b+c=2a，b=c，所以a=b=c，所以△ABC为等边三角形，
∴SOACB=S△OAB+S△ABC=
OA•OBsinθ+
AB2…（8分）
=sinθ+
(OA2+OB2-2OA•OBcosθ)…（9分）
=sinθ-
cosθ+
=2sin(θ-
)+
，…（10分）
∵θ∈（0，π），∴θ-
∈(-
，
)，
当且仅当θ-
=
，即θ=
时取最大值，SOACB的最大值为2+
…（12分）
| 2π |
| ω |
| 4π |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
∵
| sinB+sinC |
| sinA |
| 2-cosB-cosC |
| cosA |
∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA-cosBsinA-cosCsinA，
∴sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA=2sinA，
∴sin（A+B）+sin（A+C）=2sinA…（4分）
∴sinC+sinB=2sinA，
∴b+c=2a…（6分）
（Ⅱ）因为b+c=2a，b=c，所以a=b=c，所以△ABC为等边三角形，
∴SOACB=S△OAB+S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 4 |
=sinθ+
| ||
| 4 |
=sinθ-
| 3 |
5
| ||
| 4 |
| π |
| 3 |
5
| ||
| 4 |
∵θ∈（0，π），∴θ-
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
当且仅当θ-
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 5π |
| 6 |
5
| ||
| 4 |
点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及余弦定理和三角形的面积，属中档题．
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