题目内容

(2013•青岛一模)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,0),B(1,0),动点C满足:△ABC的周长为2+2
2
,记动点C的轨迹为曲线W.
(Ⅰ)求W的方程;
(Ⅱ)曲线W上是否存在这样的点P:它到直线x=-1的距离恰好等于它到点B的距离?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)设E曲线W上的一动点,M(0,m),(m>0),求E和M两点之间的最大距离.
分析:(Ⅰ)由:△ABC的周长为2+2
2
,得到两边BC与AC的长度和,又点A(-1,0),B(1,0),符合椭圆定义,所以W的方程可求;
(Ⅱ)若线W上存在这样的点P:它到直线x=-1的距离恰好等于它到点B的距离,说明点P又在抛物线在y2=4x上,联立椭圆和抛物线方程即可得到点P的坐标;
(Ⅲ)把动点E的坐标仅用y表示,然后直接写出E和M两点之间的距离,距离中只含有参数m,对m进行分类讨论求解距离的最大值.
解答:解:(Ⅰ)设C(x,y),∵△ABC的周长为2+2
2
,∴|AC|+|AB|+|BC|=2+2
2

又|AB|=2,∴|AC|+|BC|=2
2
>2

根据椭圆的定义知,动点C的轨迹是以A、B为焦点,长轴长为2
2
的椭圆(除去与x轴的两个交点).
从而a=
2
,c=1
,b2=a2-c2=1
∴W的方程为
x2
2
+y2=1
(y≠0);   
(Ⅱ)存在两个点(3
2
-4,-2
3
2
-4
)
(3
2
-4,2
3
2
-4
)
满足题意.
事实上,假设存在点P满足题意,则点P为抛物线y2=4x与曲线
x2
2
+y2=1
(y≠0)的交点,
y2=4x
x2
2
+y2=1(y≠0)
消去y得:x2+8x-2=0.
解得x=3
2
-4
x=-3
2
-4
(舍去).
x=3
2
-4
代人抛物线的方程得y=±2
3
2
-4

所以存在两个点(3
2
-4,-2
3
2
-4
)
(3
2
-4,2
3
2
-4
)
满足题意.
(Ⅲ)设E(x,y),则由
x2
2
+y2=1
(y≠0)得x2=2-2y2(-1≤y≤1,且y≠0)|ME|=
x2+(y-m)2
=
2-2y2+(y-m)2
=
-(y+m)2+2m2+2

若-m<-1,即m>1时,当y=-1时,|ME|max=
m2+2m+1
=m+1

若-1≤-m<0,即0<m≤1时,当y=-m时,|ME|max=
2m2+2
点评:本题考查了椭圆和抛物线的定义,考查了方程组的求解方法,训练了利用分类讨论求函数最值,是中档题.
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