Question

12．在△ABC中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知a²，$\frac{3{b}^{2}}{4}$，c²成等差数列，则sinB的最大值为（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{3}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 利用余弦定理、等差数列的定义和性质，以及基本不等式的应用，求得cosB≥$\frac{1}{2}$，可得0＜B≤$\frac{π}{3}$，再根据sinB在（0，$\frac{π}{3}$]单调递增，求得sinB的最大值．

解答 解：△ABC中，∵a²，$\frac{3{b}^{2}}{4}$，c²成等差数列，∴$\frac{{3b}^{2}}{2}$=a²+c²，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}}{6ac}$≥$\frac{1}{3}$，故cosB的最小值为$\frac{1}{3}$，
当且仅当a=c时，等号成立．
又 0＜B＜π，∴0＜B≤$\frac{π}{3}$，∵sinB在（0，$\frac{π}{3}$]单调递增，
故sinB的最大值为sin$\frac{π}{3}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
故选：D．

点评 本题主要考查余弦定理、等差数列的定义和性质，以及基本不等式的应用，求得cosB≥$\frac{1}{2}$，是解题的关键，属于中档题．