已知△ABC的内角为A.B.C.其对边分别为a.b.c.已知B为锐角.向量$\overrightarrow m=.\overrightarrow n=(cos2B.2{cos^2}\frac{B}{2}-1)$.且$\overrightarrow m$∥$\overrightarrow n$．(Ⅰ)求角B的大小及当$b∈[\sqrt{3}.2\sqrt{3}]$时.△ABC的外接圆半径R� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．已知△ABC的内角为A、B、C，其对边分别为a、b、c，已知B为锐角，向量$\overrightarrow m=（2sinB，-\sqrt{3}），\overrightarrow n=（cos2B，2{cos^2}\frac{B}{2}-1）$，且$\overrightarrow m$∥$\overrightarrow n$．
（Ⅰ）求角B的大小及当$b∈[\sqrt{3}，2\sqrt{3}]$时，△ABC的外接圆半径R的取值范围；
（Ⅱ）如果b=2，求S_△ABC的最大值．

分析（Ⅰ）由平面向量共线（平行）的坐标表示可得2sinB•（2cos²$\frac{B}{2}$-1）+$\sqrt{3}$cos2B=0，利用三角函数恒等变换的应用化简可得2sin（2B+$\frac{π}{3}$）=0，结合B为锐角可求B，由正弦定理即可得解．
（Ⅱ）由余弦定理可得ac=a²+c²-4，利用基本不等式可得ac≤4，根据三角形面积公式即可求其最大值．

解答（本题满分为12分）
解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow m$∥$\overrightarrow n$，
⇒2sinB•（2cos²$\frac{B}{2}$-1）+$\sqrt{3}$cos2B=0，…（2分）
⇒sin2B+$\sqrt{3}$cos2B=0
⇒2sin（2B+$\frac{π}{3}$）=0（B为锐角）
⇒2B=$\frac{2π}{3}$
⇒B=$\frac{π}{3}$，…（4分）
∴R=$\frac{b}{2sinB}=\frac{b}{\sqrt{3}}∈$[1，2]…（6分）
（Ⅱ）由cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{2}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，可得：ac=a²+c²-4，…（8分）
∵a²+c²≥2ac，∴ac≤4，…（10分）
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB≤$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
即S_△ABC的最大值为$\sqrt{3}$．…（12分）