Question

已知：数列{a_n}的前n项和为S_n=n²+2n．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）判断数列{a_n}是否是等差数列，并证明．

Answer 1

考点：等差关系的确定,等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据题意得，当n≥2时a_n=S_n-S_n-1，当n=1时a₁=S₁，求出a_n；
（2）先判断数列{a_n}是等差数列，利用等差数列的定义进行证明．

解答： 解：（1）当n≥2时，S_n-1=（n-1）²+2（n-1）=n²-1，
则a_n=S_n-S_n-1=（n²+2n）-（n²-1）=2n+1，
当n=1时，a₁=S₁=1+2=3，满足上式．
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2n+1；
（2）数列{a_n}是等差数列，
证明：由（1）知，a_n=2n+1，
当n≥2时，a_n-a_n-1=（2n+1）-[2（n-1）+1]=2，
则当n≥2时，a_n-a_n-1是一个与n无关的常数，
所以数列{a_n}是以3为首项，以2为公差的等差数列．

点评：本题考查了数列a_n与S_n的关系式，以及等差数列的定义，是常考的题型．