Question

已知函数f（x）满足：f（1）=

1

2

，对任意实数x，y都有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）成立，则

2013

k=1

f（k）=（　　）

• A、1
• B、0
• C、

  1

  2

• D、-1

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据条件求出f（0），f（1），f（2），…，找到相应的规律，然后计算即可

解答： 解：∵f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），f（1）=

1

2

，
令x=1，y=0，
则f（1+0）+f（1-0）=2f（1）f（0），
∴f（0）=1，
令x=y=1，
则f（1+1）+f（1-1）=2f（1）f（1），
∴f（2）=-

1

2

，
令x=2，y=1，
则f（2+1）+f（2-1）=2f（2）f（1），
∴f（3）=-1，
令x=y=2，
则f（2+2）+f（2-2）=2f（2）f（2），
∴f（4）=-

1

2

，
令x=3，y=2，
则f（3+2）+f（3-2）=2f（3）f（2），
∴f（5）=

1

2

，
令x=y=3，
则f（3+3）+f（3-3）=2f（3）f（3），
∴f（6）=1，
令x=4，y=3，
则f（4+3）+f（4-3）=2f（4）f（3），
∴f（7）=

1

2

，
令x=y=4，
则f（4+4）+f（4-4）=2f（4）f（4），
f（8）=-

1

2

，
令x=5，y=4，
则f（5+4）+f（5-4）=2f（5）f（4），
∴f（9）=-1，
通过以上可以发现，6个循环一次，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=

1

2

-

1

2

-1-

1

2

+

1

2

+1=0．
∵2013÷6=335余3，
故

2013

k=1

f（k）=335×0+

1

2

-

1

2

-1=-1
故选：D

点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，同时考查了归纳推理，属于中档题．