Question

如图，E是以AB为直径的半圆上异于A，B的一点，四边形ABCD是矩形，且AB=2AD=2，沿AB翻折，使平面ABCD⊥平面ABE，F为平面ECD与半圆弧的另一交点．

（1）求证：平面ADE⊥平面BEC：
（2）求证：EF∥CD．
（3）若EF=1，求三棱锥E-ADF的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）利用平面ABCD⊥平面ABE，CB⊥AB，证明CB⊥平面ABE，再根据直径所对的圆周角为直角，得到BE⊥AE．结合线面垂直的判定定理，得到AE⊥平面BEC，最后利用面面垂直的判定定理，得到平面ADE⊥平面BCE；
（2）先证明CD∥平面ABE，再利用线面平行的性质，即可证得结论；
（3）求出点E到直线AB的距离为3，转换底面，即可求三棱锥E-ADF的体积．

解答： （1）证明：∵平面ABCD⊥平面ABE，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABE=AB，
∴CB⊥平面ABE，
∴CB⊥AE，
∵BE⊥AE，CB∩BE=B，
∴AE⊥平面BEC，
∵AE?平面ADE，
∴平面ADE⊥平面BEC；
（2）证明：∵CD∥AB，AB?平面ABE，CD?平面ABE，
∴CD∥平面ABE，
∵平面CDE∩平面ABEF=EF，EF?平面ABE，
∴CD∥EF；
（3）∵AB∥EF，AB=2，EF=1
∴点E到直线AB的距离为3，
∴VE-ADF=VD-AEF=

1

3

S△AEF•AD=

3

12

点评：本题考查面面垂直的性质，线面垂直的判定与性质，考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．