Question

8．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的普通方程为x-y-2=0，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2\sqrt{3}cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），设直线l与曲线C交于A，B两点．若点P在曲线C上运动，当△PAB的面积最大时，求点P的坐标及△PAB的最大面积．

Answer 1

分析 曲线C的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{x-y-2=0}\end{array}\right.$，得A（0，-2），B（3，1），从而|AB|=3$\sqrt{2}$，△PAB的面积最大，即点P到直线l的距离d最大，设P（$2\sqrt{3}cosθ$，sinθ），则d=$\frac{|4cos（θ+\frac{π}{6}）-2|}{\sqrt{2}}$，当cos（$θ+\frac{π}{6}$）=-1时，${d}_{max}=\frac{6}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$，由此能求出当△PAB的面积最大时，求点P的坐标及△PAB的最大面积．

解答 解：∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2\sqrt{3}cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），
∴曲线C的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{x-y-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴A（0，-2），B（3，1），∴|AB|=$\sqrt{（0-3）^{2}+（-2-1）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
△PAB的面积最大，即点P到直线l的距离d最大，
设P（$2\sqrt{3}cosθ$，sinθ），则d=$\frac{|2\sqrt{3}cosθ-2sinθ-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|4cos（θ+\frac{π}{6}）-2|}{\sqrt{2}}$，
当cos（$θ+\frac{π}{6}$）=-1，即$θ=2kπ+\frac{5π}{6}$，k∈Z时，
${d}_{max}=\frac{6}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴△PAB的最大面积S=$\frac{1}{2}×AB×{d}_{max}$=$\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×3\sqrt{2}$=9．
此时P（-3，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查三角形面积最大时对应的点的坐标及最大面积的求法，考查圆上的点到直线的最大距离和最小距离的求法，考查参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．