Question

20．在等差数列{a_n}中，a₁+a₂=7，a₃=8．令${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$．求数列{a_n}的通项公式以及数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 利用等差数列的通项公式即可得出，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：设数列{a_n}的公差为d，
由$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+{a_2}=7\\{a_3}=8\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+{a_1}+d=7\\{a_1}+2d=8\end{array}\right.$
解得a₁=2，d=3，
∴a_n=2+3（n-1）=3n-1，
∵${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（3n-1）[3（n+1）-1]}=\frac{1}{（3n-1）（3n+2）}=\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{3}（\frac{1}{2}-\frac{1}{5}）+\frac{1}{3}（\frac{1}{5}-\frac{1}{8}）+…+\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}）$
=$\frac{n}{2（3n+2）}$．

点评 本题考查了“裂项求和方法”、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．