Question

9．已知函数$f（x）=-ax+\frac{1}{2}{x^2}+lnx$在（2，+∞）单调递增，则a的取值范围是（-∞，$\frac{5}{2}$]．

Answer 1

分析 求出函数的导数，问题转化为a≤x+$\frac{1}{x}$在（2，+∞）恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：f′（x）=-a+x+$\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}-ax+1}{x}$，
若f（x）在（2，+∞）递增，
则g（x）=x²-ax+1≥0在（2，+∞）恒成立，
即a≤x+$\frac{1}{x}$在（2，+∞）恒成立，
而y=x+$\frac{1}{x}$在（2，+∞）递增，
故a≤2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
故答案为：（-∞，$\frac{5}{2}$]．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．