Question

如图，四棱锥S-ABCD中，△SAB是正三角形，四边形ABCD为正方形，平面SAB⊥平面ABCD，AB=BC=4，E为SB中点，点F在线段BC上．
（Ⅰ）当EF⊥BD时，求BF的长度；
（Ⅱ）设二面角E-AF-B的大小为θ，当点F在线段BC中点时，求tanθ．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）取DS中点为G，连接GE，GF，则GE∥BD，取AS的中点H，连接BH，取GM=BF，利用勾股定理BF的长度；
（Ⅱ）求出S_△AFB=

1

2

•4•2=4，S_△EAF=

1

2

•2

3

•2

2

=2

6

，可得cosθ=

4

2 6

，即可求出tanθ．

解答： 解：（Ⅰ）取DS中点为G，连接GE，GF，则GE∥BD，
∵EF⊥BD，∴GE⊥FE，
取AS的中点H，连接BH，取GM=BF，则设BF=x，
∵△SAB是正三角形，四边形ABCD为正方形，AB=BC=4，
∴GF²=（2-x）²+（2

3

）²=（2

2

）²+2²+x²，
∴x=1；
（Ⅱ）当点F在线段BC中点时，S_△AFB=

1

2

•4•2=4，
△EAF中，AE=2

3

，EF=2

2

，AE⊥EF，S_△EAF=

1

2

•2

3

•2

2

=2

6

，
∴cosθ=

4

2 6

，
∴sinθ=

2 2

2 6

，
∴tanθ=

2

2

．

点评：本题考查面面垂直，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．