Question

设方程x²+y²-2mx-2m²y+m⁴+2m²-m=0表示一个圆．
（1）求m的取值范围；
（2）m取何值时，圆的半径最大？并求出最大半径．

Answer 1

考点：二元二次方程表示圆的条件

专题：直线与圆

分析：（1）将圆的方程化为标准方程，利用方程为圆，可得半径大于0，即可得到m的范围‘
（2）设r²=-m²+m，在（1）求出的m的范围中，利用二次函数求最值的方法求出半径的最大值即可．

解答： 解：（1）由方程x²+y²-2mx-2m²y+m⁴+2m²-m=0，
变形得：（x-m）²+（y-m²）²=-m²+m，
要使方程表示圆，则需要-m²+m＞0，∴m²-m＜0，∴0＜m＜1；
（2）设r²=-m²+m=-(m-

1

2

)2+

1

4

∵0＜m＜1，
∴当m=

1

2

时，r²最大为

1

4

，圆的半径最大为

1

2

．

点评：本题考查方程表示圆时的条件，考查二次函数的最大值，将圆的一般方程化为标准方程是关键．